Le 25/10/2010

Un général place trois jetons dans un sac pour tirer un éclaireur au sort entre trois soldats: le premier jeton comporte deux faces blanches, le deuxième deux faces noires, et le dernier une face noire et une face blanche. Le soldat qui tire le jeton avec les deux faces noires partira comme éclaireur. Le premier soldat tire un jeton au hasard et s'aperçoit que la face qu'il regarde est noire.
Quelle est la probabilité qu'il soit envoyé en éclaireur ou que se soit un autre soldat?

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Enigme - L'éclaireur

En tout il y a 6 faces pour les 3 jetons. Sur ces 6 faces 3 sont noires et 3 blanches. Donc s'il a une face noire c'est donc qu'il voit soit:
. une face du jeton complètement noir
. l'autre face de ce même jeton
. une face du jeton mi noir mi blanche

Il a donc 2 chances sur 3 que l'autre face soit noire. D'où les probabilités lui disent qu'il a 2 chances sur 3 de partir en éclaireur et qu'un autre soldat a 1 chance sur 3.

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Le 27/10/2010

- J'ai fait une bonne affaire, me dit le curé
- Laquelle donc, demandai-je, curieux.
- Voilà, répondit-il. Ce matin, je suis parti avec un certain montant d'argent et sur mon chemin j'ai rencontré trois «quêteux». Profession oblige, je donnai au premier 1€ de plus que la moitié de ce que j'avais en poche, au second 2€ de plus que la moitié de ce qui me restait alors, et au troisième, 3€ de plus que la moitié de ce qui me restait à ce moment-là.
- Vous reste-t-il de l'argent? demandai-je.
- Mais bien sûr mon frère; il me reste 1€.
- Je ne comprends pas où est cette si bonne affaire, lui fis-je remarquer en me grattant la tête.
- Mais c'est l'évidence même! Puisque Dieu remet au centuple toute bonne action.

Combien lui doit donc Dieu?

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Enigme - Dieu rend au centuple

Résolvons ce problème d'arithmétique. Soit x la somme d'argent que possède initialement le curé.

Au 1e quêteux il donne: x/2+1
Il lui reste donc: x-(x/2+1)=x/2-1

Au 2e quêteux il donne: (x/2-1)/2+2 = x/4+3/2
Il lui reste donc: x/2-1-(x/4+3/2)=x/4-5/2

Au 3e quêteux il donne: (x/4-5/2)/2+3 = x/8+7/4
Il lui reste donc: x/4-5/2-(x/8+7/4)=x/8-17/4

Or le curé n'a plus que 1€ au final. On a donc l'équation suivante:
x/8-17/4=1 soit x=42

On pourrait aussi écrire l'équation totale comme
la somme de ces trois montants ajoutée à 1 donne le montant initial soit:
x = 1/2x+1 + 1/2(1/2x-1)+2 + 1/2(x-(1/2x+1) - 1/2(1/2x-1)+1) +3 +1

Dieu doit donc au prêtre 4200€. Une belle affaire!!

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Le 27/10/2010

Une ménagère a acheté 2 poulets pesant ensemble 3kg400. Elle en cède un à sa voisine. N'ayant pas suffisamment de poids pour le peser, elle place chacun des poulets dans le plateau d'une balance et constate qu'il lui faut mettre un poids de 500g à côté du poulet qu'elle cède pour rétablir l'équilibre.

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Enigme - Les 2 poulets

C'est un problème d'arithmétique avec 2 inconnues:
On a les 2 équations avec x et y le poids de chacun des poulets:
x+y=3.4
y+0.5=x

Cela se résout facilement en soustrayant la première de la deuxième équation:
2x=3.9 soit x=1.95

Le 1e poulet pèse donc 1.95 kilos et le 2e poulet 1.45 kilos.

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Le 28/10/2010

Un homme se promène dans les montagnes et croise deux bergers qui s'apprêtent à manger. Il leur demande s'il peut partager leur repas. Les bergers acceptent. Le premier berger a 7 fromages, et le deuxième en a 5. Ils s'installent tous les trois et mangent chacun quatre fromages.Pour les dédommager, le promeneur leur donne 12€.Le premier prend 7€ et le deuxième prend 5€. Le partage est-il équitable ?

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Enigme - Partage des fromages

Non, le premier berger doit prendre 9€, et le deuxième 3€. En effet, le premier avait 7 fromages. Il en a donc donné 3 au promeneur. Le deuxième avait 5 fromages, il n'en a donné qu'un seul au promeneur.
Le promeneur a acheté 4 fromages avec 12€. Chaque fromage coûte donc 3€.Celui qui en a donné 3 doit donc recevoir 9€, et l'autre qui n'en a donné qu'un doit recevoir 3€.

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Le 01/11/2010

A l'occasion d'un bizutage, vous participez à un jeu. Les règles sont très simples. Devant vous, se trouvent cinq boites. Une seule est vide, les autres contiennent un verre d'une breuvage pas très recommandable (cocktail à base de moutarde, bière, vinaigre, café, poivre, épices, coca, et autre ingrédients...).
Vous êtes 3 à participer.
Le premier qui joue choisit une boite. Si elle est vide, les 2 autres doivent boire ce fameux cocktail. Dans le cas contraire, c'est lui qui boit. La boite est alors retiré, et le second joueur choisit une boite à son tour.
Dans votre malheur, vous avez de la chance, car on vous laisse choisir à quel moment vous voulez jouer : 1er, second ou dernier.

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Enigme - Cocktail du bizutage

Ce n'est pas une chance qui vous est offerte, c'est plutôt un canular. En effet, vous avez tout autant de risque quelque soit la position dans le jeux. Dans tous les cas vous avez 1 chance sur 5 de ne pas boire le cocktail.

Démonstration ci-dessous :
Vous jouez en premier : 1 chance sur 5.
Vous jouez en second : le premier a 1 chance sur 5. Vous avez alors une probabilité de 4/5 de devoir jouer. Pour le jeu vous aurez 1 chance sur 4. Ce qui donne 4/5 * 1/4 = 1 chance sur 5.
Vous jouez en dernier : 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1 chance sur 5.

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Le 05/12/2010

Un homme possède quatre animaux, deux chiens et deux chats. Un chat est blanc, l'autre est noir. Au moins un des chiens est un mâle et le chat noir est un mâle.
Quelle est la probabilité pour que les deux chiens soient des mâles? Quelle est la probabilité pour que les deux chats soient des mâles?

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Enigme - Chiens et chats

Pour un couple d'animaux il y a 4 possibilités (M=mâle, F=femelle): MM, MF, FM, FF. Comme au moins 1 des chiens est un mâle, il n'y a donc que 3 possibilités pour le couple de chiens: MM, MF et FM. Conclusion: il y a une chance sur trois pour que les deux chiens soient des mâles.

Le chat noir est un mâle. Le chat blanc est soit un mâle soit une femelle. Conclusion: il y a une chance sur deux pour que les deux chats soient des mâles.

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Le 05/12/2010

Un bateau transatlantique ayant x cheminées, y hélices et z hommes à bord part le nème jour du pème mois de l'année 1900+t, où t est compris entre 0 et 99.

Le produit de x par y par z par n par p par t auquel on ajoute la racine cubique de l'âge du capitaine vaut exactement 4752862.

Quel est l'âge du capitaine ?
Quel jour le bateau a-t-il été lancé, et combien y-a-t-il d'hommes à bord ?

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Enigme - L'âge du capitaine

La racine cubique de l'âge du capitaine est donc un nombre entier. Les cubes des premiers nombres entiers sont:
1^3= 1, 2^3= 8, 3^3= 27, 4^3= 64, et 5^3= 125

Seul les âges de 27 et 64 ans sont possibles pour un capitaine au long cours, donc la racine cubique de l'âge du capitaine est: soit 3, soit 4.

Ce ne peut être 3. En effet: 4752862-3 = 4752859 , et la décomposition en facteurs premiers de 4752859 est : 4752859 =347 x 13697, qui n'est pas le produit de 6 nombres entiers.

La racine cubique est donc 4 et le capitaine a 64 ans.

4752862-4 = 4752858 et la décomposition en facteurs premiers de 4752858 est:
4752858 = 2 x 3 x 11 x 23 x 31 x 101

Les nombres de cheminées et d'hélices ne peuvent être que 2 et 3.

23, 31 et 101 ne peuvent être des numéros de mois, donc le mois est novembre et le jour est 23.

Le bateau a donc été lancé le 23 novembre 1931 avec 101 hommes à bord.

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Le 06/12/2010

Une maladie mortelle a frappé la planète Terre. D'après les plus récentes statistiques (très fiables), 1 personne sur 10.000 a cette maladie. Vous vous sentez un peu troublé par ces nouvelles et pour être certain de ne pas être vous même malade, vous décidez de faire un dépistage.
Le médecin vous prévient qu'il existe bien un examen, mais il n'est fiable qu'à 99% (donc il se trompe de diagnostic 1% du temps). Vous passez le test et, horreur, le courrier vous indique que vous êtes malade.
Devez-vous vous inquiéter ? Quelle probabilité avez-vous d'être effectivement malade ?

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Enigme - Virus

On note les évènements :
être malade : m
se voir annoncer qu'on est malade après un test : a
On cherche la probalité d'être malade sachant que le test est positif soit p(m/a).
Or l'équation mathématique peut s'écrire:
p(m/a) = p(m & a) / p(a)
p(m & a ) = 1/10000 * 0.99 (dans le cas où on est malade, on se fait annoncer qu'on est malade à 99%).
pour p(a) : a se réalise dans deux cas très différents : ou bien on est malade et le test a été correct, ou bien on ne l'est pas et le test a été faux.
p(a) = 1/10000 * 0.99 + (1-1/10000) * (1 - 0.99)
d'où p(m) = 1 / (1 + (1-p1)(1-p2)/(p1p2) )
p(m) ~= 0.98%
Pas de raison de s'inquiéter donc. Il y a beaucoup plus de chances que le test ait été faux, qu'on ait été touché par la maladie.

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Le 07/12/2010

2 amis se rencontrent dans un café. Le premier, Matthieu, prend un café et le deuxième, Etienne, prend un verre de lait. Les 2 liquides ont exactement la même contenance.
Matthieu trempe sa cuillère dans son café et la verse en entier dans le lait d'Etienne. Etienne fait de même avec son verre et verse le lait mélangé dans la tasse de café de Matthieu.
Matthieu objecte alors:
"Je crois bien que j'ai moins de lait dans mon café que tu n'as de café dans ton lait, car je t'ai donné une cuillère pleine de café et tu m'as donné une cuillère de café au lait !"
Etes-vous d'accord avec cette affirmation?

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Enigme - Le café au lait

A première vue cela semble juste. Mais il faut se rappeler que la tasse de Matthieu n'est plus pleine après avoir vidé sa cuillère dans le verre d'Etienne.

A cette étape dans le verre d'Etienne le pourcentage de café est de x/(x+y) où x représente le volume de la cuillère et y le volume du verre. Le pourcentage de thé est y/(x+y). Le pourcentage ne bouge pas quand on passe le lait au café d'Etienne dans le café de Matthieu.

Il suffit maintenant de calculer le pourcentage de thé dans la tasse de Matthieu. Pour cela on multiplie le pourcentage de thé de la tasse d'Etienne par x le volume de la cuillère que l'on divise par le volume de la tasse de café y. On trouve alors:
x*(y/(x+y))/y=x/(x+y)
Soit le même pourcentage de café dans la tasse d'Etienne.

CQFD

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Un ballon à l'hélium monte dans l'air tout doucement. La première seconde il parcourt 1 m, la deuxième 50 cm, la troisième 25 cm et de suite.
Indéfiniment le ballon ne s'arrête pas de monter. Par seconde il parcourt la moitié de ce qu'il a monté la seconde précédente.
Jusqu'où le ballon va-t-il monter?

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Enigme - Le ballon à l'hélium

On pourrait croire comme le ballon monte indéfiniment qu'il va atteindre la limite de l'atmosphère. Or ce raisonnement est faux.
Le ballon dans son parcours suit une somme infinie de raison 1/2. Mathématiquement à la n-ième seconde son altitude atteinte est:
H=1+1/2+1/4+...1/2^n
La valeur de cette somme à l'infini est connue est vaut: H=1/(1-1/2)=2
Donc le ballon tend vers la hauteur de 2 mètres mais sans jamais l'atteindre..

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